Equazioni differenziali con MatLab

Risolvere equazioni differenziali con MatLab

Sintassi generale per un file-M per la soluzione di un problema di cauchy:
function F=nomefunzione(t,y)
dove la funzione F, F=F(t,y) vale per il seguente problema di Cauchy $=> \begin{cases} y'=F(t,y)\\ y(t_0)=y_0 \end{cases}$
se abbiamo il seguente problema di Cauchy:
$\begin{cases} y'=F(t,y)\\ y(t_0)=y_0 \end{cases}$
la risoluzione del problema è:
[t,y]=ode45('nomefunzione',tstan,y0)
dove t0 è l'estremo sinistro dell'intervallo.

Esempio 1:
Consideriamo il caso banale:
$\begin{cases} y'=t\\ y(0)=1 \end{cases}$
La soluzione cercata è $y= \frac {t^2}{2} +1$
Per risolvere il problema con matlab:

1. Definisco una funzione di due variabili in un M-File come  qui sotto:
   function z=funzione(t,y) z=t
2. Definisco un intervallo di integrazione. In questo esempio cerchiamo una soluzione nell'intervallo [0,10]:
   tstan=[0 10]
3. L'istruzione usata , ode 23 è basata sul metodo di Runge-Kutta del 2 e 3 ordine:
   [t,y]=ode23('funzione',tstan,1)
4. L’istruzione usata, ode45, è bastata sul metodo di Runge-Kutta del 4 e 5 ordine:
   [t,y]=ode45('funzione',tstan,1)
5. Sono mostrati a schermo i valori di t e di y (soluzione numerica dell'equazione). Il programma non fornisce l'espressione della soluzione del problema di Cauchy ma un insieme di valori numerici da essa assunti.
6. Plottiamo la soluzione trovata:
   $plot(t,y)$
7. Poi troviamo  il polinomio interpolante di secondo grado:
   $ polyfit(t,y,2)

Esempio 2:
Studiamo il seguente problema di Cauchy:
$\begin{cases}  y'=y-t \\ y(0)=1 \end{cases0}$

Si tratta di un'equazione differenziale  del primo ordine.
L'integrale generale è $y=c e^x +x + 1$
L'integrale particolare è y=x+1.

1. Creo un file M che lo salvo con il nome: funzionesempiouno.m
   function z=funzionesempiouno(t,y) z=y-t
2. Ricerca della soluzione: (si preferisce l'ode45 perchè ha una maggiore precisione anche se fa un calcolo più complesso e lungo anche se con i processori moderno non si nota la differenza)
   tstan=[0 5] [t y]=ode45('funzionesempiodue',tstan,1) plot(t,y)

Esempio 3:
Questa volta prendiamo un'equazione differenziale del secondo ordine:
$\begin{cases} y''+y=t^3 -2 \\ y(0)=0 \\ y'(0)=0 \end{cases}$
Per risolverla occorre trasformarla in un sistema di due equazioni del primo ordine ne seguente modo:
$$\begin{cases} y_1'=y_2 \\ y_2'=-y_1+t^3-2 \\ y_1(0)=0\\ y_2(0)=0 \end{cases}$$
Dove abbaimo posto $y_1=y e y_2=y'$
L'integrale generale è:
$y(t)=A cos(t) + sin(t) + t_3 -6t-2$.

Risoluzione:

1. function z=funzesempiotre(t,y) z=[y(2); t^3-2 -y(1)]
2. e risolviamo come abbiamo fatto sopra...